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求图形面积的综合题, 难度不大但很典型, 关键是直角三角形性质

2022-04-18 访谈 27 ℃ 0 评论
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各位朋友,大家好!今天,“数学视窗”给大家讲解一道求图形面积的几何综合题,这道题目很简洁,需要解决两个小问题,难度不大。大家在做题时要弄清所给出条件的作用。此题考查了直角三角形的性质、三角函数以及勾股定理等知识。下面,我们就一起来看这道例题吧!

例题:(初中数学综合题)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠CAB=30°,DE⊥AC于E,且AE=CE,若DE=5,EB=12.求四边形ABCD的面积和∠DAC的正弦值.

分析:大家想要正确解答一道数学题,必须先将大体思路弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路:由∠ABC=90°,AE=CE,EB=12,并根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可求得AC的长,又由∠CAB=30°,利用三角函数的知识即可求得BC与AB的长,由四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积,求得四边形ABCD的面积.在直角三角形ADE中,利用勾股定理即可求得AD的长,继而求得∠DAC的正弦值.

解答:(以下的过程仅供参考,可以部分进行调整,并且可能还有其他不同的解题方法)

∵∠ABC=90°,AE=CE,EB=12,

∴AC=2BE=24.(直角三角形的性质)

∵在Rt△ABC中,∠CAB=30°,

∴BC=1/2AC=12,

(直角三角形中30°的角所对直角边等于斜边的一半)

AB=AC?cos30°=12√3,(三角函数的意义)

∵DE⊥AC,DE=5,

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD

=1/2AB?BC+1/2AC?DE

=1/2×12√3×12+1/2×24×5

=72√3+60,

在Rt△ADE中,

AD2=AE2+DE2(勾股定理)

=12^2+5^2,

∴AD=13.

∴sin∠DAC=DE/AD=5/13.

(完毕)

这道题考查了图形面积的求法、直角三角形的性质、三角函数以及勾股定理等知识,此题难度适中,解答本题的关键是灵活运用直角三角形的性质,并把四边形分成两个三角形求解。温馨提示:朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法,欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。

本文来源:http://www.lzhi8.com/fangtan/11197.html

Tags:角形直角但很

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